Даулет Затыбеков начал свою карьеру в академии футбольного клуба «Тараз», где прошёл путь от юношеских команд до основного состава. В период с 2019 по 2024 год он выступал за «Тараз U-21», «Тараз-М», «Тараз-Каратау» и основной состав клуба, проведя более десяти матчей в Первой лиге Казахстана.

В 2024 году Даулет принял решение перейти в футзал и начал играть за МФК «Омега», где получил первый опыт в новом формате игры и уверенно проявил себя в роли вратаря.

В марте 2025 года Даулет Затыбеков присоединился к чемпионам Казахстана — ФК «Семей». На данный момент он ещё не дебютировал за команду, однако активно готовится к старту в составе одного из сильнейших футзальных клубов страны.